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Cálculo
Concepts to cover:
- Define differentiation and integration
- Relate differentiation and integration to the functions for distance, velocity, and acceleration
- Contrast a definite integral with an indefinite integral
- Plot a function on a graph and then explain what information is provided by
- a definite integral
- a derivative
There are two things to consider when learning calculus:
- Differentiation
- Integration
Hay dos cosas para considerar cuando aprendiendo cálculo:
- Diferenciación
- Integración
Let's talk about something that we all like-- Fast Cars.
Charlemos algo que gusta a todos-- Coches Rápidos.
We want a car to travel from point A to point B. We want to
travel at a high speed to minimize the time required for
the trip. Also, we enjoy the high speed, and also the
acceleration we use to achieve high speed.
Quieren un coche para viajar desde punto A a punto B. Quiero viajar
a velocidad rápido para minimizar el tiempo necesario
por el viaje. También, disfrutamos la velocidad alta, y
también la acceleración usamos para lograr
velocidad alta.
Our car that travels at a constant velocity makes the calculus
more simple. We can use the function d=200h where d is distance
in kilometers and t is time in hours. If we travel two hours,
we travel 400 kilometers [400=200(2)].
Nuestro coche que viaja a velocidad constante hace el cálculo
más simple. Podemos usar la función d=200h de donde
d está distancia en kilómetres y t está
tiempo en horas. Sí viajamos dos horas, viajamos 400
kilómetres [400=200(2)].
Now we are ready to discuss the meaning of the words integrate
and differentiate. We differentiate the function that gives
distance to determine the function that gives velocidad. We
differentiate the function that gives velocity to determine the
function that gives acceleration.
Ahora estamos listo para discutir la significancia de las palabras
integrar y diferenciar. Diferenciamos la
función que da
distancia para determinar la función que da velocidad.
Diferenciamos la función que da velocidad para determinar
la función que da aceleración.
Integration works in the opposite direction. We integrate the
function that gives acceleration to calculate the function that
gives velocity. We integrate the function that gives velocity to
calculate the function that gives distance.
Integración trabaja en la dirección opuesta.
Integramos la función que da acceleración para
calcular la función que da velocidad. Integramos la
función que da velocidad para calcular la función
que da distancia.
The derivative of a function that is a constant is zero. If we
travel in our fast car at a constant speed, there is no acceleration.
If the odometer, which is equivalent to distance, is not changing,
then our velocity is zero.
El derivado de una función que es un constante es ceros. Si viajamos
en nuestro coche rápido a una rapidez constante, hay ninguna
aceleración. Si el odómetro, que está equivalente a distancia, no
cambia, entonces nuestra velocidad es ceros.
If we set acceleration to a constant, then velocity will be an increasing function. Distance (relative to our starting point) will increase.
Si fijamos aceleración a un constante, entonces velocidad será un
creciente función. Distancia (relativo a nuestro punto del
arranque) acrecentará.
The force of gravity on earth is equivalent to an acceleration rate
of 9.8 meters per second. If we accelerate a space ship at 9.8
meters per second we will simulate Earth gravity, which is good
for the well being of the crew. We can calculate the velocity
as a function of time using v=9.8t, where v is velocity in
meters per second, and t is time in seconds. It should make
sense that after the first second our velocity will be 9.8 meters
per second, and after the second second, 19.6 meters per second.
La fuerza de gravedad en tierra es equivalente a una aceleración tasa
de 9,8 metros por segundo. Si aceleramos un espacio envía a 9,8
metros por segundo simularemos gravedad de la Tierra, que está bueno
por el pues ser de la tripulación. Podemos calcular la velocidad
como una función de tiempo usa v= 9.8t, donde v es velocidad en
metros por segundo, y t es tiempo en segundoss. Debe hacer
sentido ese después de los primeros segundo nuestra velocidad será 9,8 metros
por segundo, y después del segundo segundo, 19,6 metros por segundo.
Now we introduce some notation. The derivative of
f (x) is f ' (x). The derivative
of f ' (x) is f " (x). We'll leave it at that for now.
Ahora introducimos unos anotación. El derivado de
f (x) es f ' (x).
El derivado de f ' (x) es
f " (x). Abandonaremos él a eso por ahora.
If f (x)=xn then f ' (x)=nxn-1.
Si f (x)=xn entonces f ' (x)=nxn-1.
If f(x)=x2 then f ' (x)=2x.
Si f(x)=x2 entonces f ' (x)=2x.
If f(x)=2x then f'(x)=2x0, and since x0=1,
we write f'(x)=2, and we say that the function f'(x) is a constant.
Si f(x)=2x entonces f'(x)=2x0, and since x0=1,
escribimos f'(x)=2, y decimos que la función f'(x) es un constante.
Now we are ready to integrate. If we integrate the constant 2,
the result is the function 2x + C, where C is a constant. If
we integrate the function 2x + C, the result is the function
x2 + Cx + D, where D is also a constant.
Ahora estamos listo para integrar. Si integramos el constante 2,
el resultado es la función 2x + C, de donde C es un constante.
Si integramos la función 2x + C, el resultado es la función
x2 + Cx + D, de donde D es también un constante.
Every time that we integrate, we must add on an unknown constant to the function. If we are integrating speed to determine the reading
on the odometer, the constant would be reading of the odometer
at time=0. If my friend drives a car out of the factory, and I follow behind him in my car, we will both travel using the same velocity function, but our odometer
readings will differ by a contant.
Cada vez que integramos, necesitamos añadir un constante
desconocido a la función. Si estamos integrando velocidad para determinar el número en el odómetro, el constante sería el número del odómetro a tiempo=0. Si mi amigo maneja un coche lejos de la fábrica, nosotros ambos viajaremos usando la misma función de velocidad, pero nuestros números de odómetro diferirán por un constante.
A definite integral is an indefinte integral that has been given two boundaries. You can integrate a work function to get the function that tells how much energy was required to do the work. If you want to know how much energy was required from time T=0 to time T=3 (maybe your units are hours), then you integrate from T=0 to T=3, and you get a number for your answer. Thus, an indefinite integral of a function is another function, but the definite integral of a function is a number.
Un integral definido es un integral del [indefinte] que se ha dado dos límites. Puede integrar una función del trabajo hacer la función que revela cuánto energía se requirió hacer el trabajo. Si quiere saber cuánto energía se requirió de tiempo T= 0 cronometrar T= 3 (quizá sus unidades son horas), entonces integra de T= 0 a T= 3, y le obtiene un número por su respuesta. Así, un integral indefinido de una función es otra función, pero el integral definido de una función es un número.
Now, to explain how calculus relates to a graph. The line on the graph plots the information contained in a function. The derivative of the function gives the slope of the function. For the blue line, the function rises six squares as it runs six squares, and since 6/6=1, we say the slope is 1. For the green line, which is
steeper, the function rises six squares as it runs three, and
since 6/3=2, we say the slope is 2.
Ahora, para explicar como cálculo relaciona con un
gráfico. El derivado de la función da la
pendiente de la función. Para la linea azul, la
función aumenta seis cuadrados como corre seis cuadrados, y desde 6/6=1, dicemos la pendiente es 1. Para la linea verde,
que es más empinada, la función aumenta seis
cuadrados como corre tres, y desde 6/3=2, dicemos que la
pendiente es 2.
Integration of the function tells the area under the curve. If
the constant of integration is zero, then the result provides
the area down to the y=0 line. The area under the blue line
is 18 squares (.5 + 1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5 + 5.5 = 18).
The function for the blue line is f(x)=x. You may remember writing y=x, which means the same thing. When we integrate f(x)=x, the result is the function 0.5x2. The function starts
at the point (0,0) and ends at (6,0). Therefore, we integrate over the range from 0 to 6.
0.5(6)2 - 0.5(0)2 = 0.5(36) - 0.5(0) = 18 - 0 = 18
La función para la azul linea es f(x)=x. Usted puede
recordar escritiendo y=x, que significa la misma cosa. Cuando
integramos f(x)=x, el resultado es la función 0,5x2. La función empieza al punto (0,0) y termina
a (6,0). Por lo tanto, integramos sobre el alcance 0 a 6.
0.5(6)2 - 0.5(0)2 = 0.5(36) - 0.5(0) = 18 - 0 = 18
(
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